📐 동춘동 수학학원 라이징 수학 Day 5
중1 소인수분해 | 공약수와 최대공약수의 성질
🎯 핵심 개념
공약수는 두 개 이상의 자연수에 공통으로 나누어 떨어지는 수를 말합니다. 최대공약수는 이러한 공약수 중 가장 큰 수를 의미합니다. 예를 들어, 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6이며, 최대공약수는 6입니다.
공약수와 최대공약수의 개념은 수학 문제를 단순화하고, 수의 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 합니다. 특히, 분수의 약분이나 여러 수의 배수 관계를 파악할 때 유용하게 사용됩니다.
이 개념은 소인수분해와 밀접한 관련이 있습니다. 소인수분해를 통해 각 수의 소인수들을 알아내고, 이를 통해 공약수와 최대공약수를 쉽게 구할 수 있습니다.
📐 공식과 성질
GCD(a, b) = p₁min(a₁, b₁) × p₂min(a₂, b₂) × …
최대공약수(GCD)를 구하는 공식은 두 수의 소인수분해 결과를 이용하여 각 소인수의 지수 중 작은 값을 선택하여 곱하는 방식입니다. 이는 두 수의 공통된 소인수의 지수를 최소화하여 공약수를 구하는 방법입니다.
LCM(a, b) = p₁max(a₁, b₁) × p₂max(a₂, b₂) × …
최소공배수(LCM)는 두 수의 소인수분해 결과에서 각 소인수의 지수 중 큰 값을 선택하여 곱하는 방식으로 구합니다. 이는 두 수의 배수 관계를 이해하는 데 필수적입니다.
💡 단계별 예시
🟢 기초 단계
예시 1 – 가장 기본
12와 18의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 12 = 22 × 3, 18 = 2 × 32이므로, GCD는 21 × 31 = 6입니다.
예시 2 – 기초 응용
8과 12의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 8 = 23, 12 = 22 × 3이므로, GCD는 22 = 4입니다.
🟡 중급 단계
예시 3 – 복합 문제
24와 36의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 24 = 23 × 3, 36 = 22 × 32이므로, GCD는 22 × 3 = 12입니다.
예시 4 – 응용 유형
45와 75의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 45 = 32 × 5, 75 = 3 × 52이므로, GCD는 3 × 5 = 15입니다.
🔴 심화 단계
예시 5 – 고난도 문제
60과 84의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 60 = 22 × 3 × 5, 84 = 22 × 3 × 7이므로, GCD는 22 × 3 = 12입니다.
🎯 시험 대비 핵심
✅ 반드시 기억할 것
- ✓핵심 포인트 1 – 소인수분해를 통한 공약수 찾기
- ✓핵심 포인트 2 – 최대공약수와 최소공배수의 관계
- ✓핵심 포인트 3 – 공약수 구할 때의 실수 방지
- ✓핵심 포인트 4 – 빠른 계산을 위한 팁
- ✓핵심 포인트 5 – 문제 풀이 전략
⚠️실수 주의!
실수 1: 소인수분해 시 잘못된 소인수 선택
실수 2: 최대공약수와 최소공배수 혼동
실수 3: 계산 과정에서의 실수
💭 학습 팁
소인수분해를 철저히 연습하여 공약수 찾기를 쉽게 하세요.
최대공약수와 최소공배수의 관계를 이해하여 문제 해결 능력을 키우세요.